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Programma di analisi 1:

 

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CAP. 1) NOZIONI FONDAMENTALI
Insiemi, Elementi, Appartenenza. Rappresentazione degli Insiemi. Implicazione ed Equivalenza. Inclusione. Insieme Vuoto.  Principio  di Doppia Inclusione. Insieme delle Parti. Unione, Intersezione, Complementazione. Quantificatori. Prodotto Cartesiano. Funzioni. Funzioni Composte.  Funzione Inversa. Successioni. Relazioni. Principio di Induzione. Il Campo dei Numeri Razionali. Il Campo dei Numeri Reali. Disequazioni di  Primo Grado. La Funzione Valore Assoluto.


CAP. 2) ARGOMENTI  ELEMENTARI
Insiemi Numerici. Postulato di Dedekind. Classi Contigue. Sezioni. La Struttura R Ampliato. Potenze Reali con Esponente Razionale (s.d.). Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado. Potenze con Esponente Reale e Logaritmi (s.d.). Le Funzioni Trigonometriche. Estremi di una Funzione. Funzioni Monotone. Primi Diagrammi di Funzioni Reali. Elementi di Calcolo Combinatorio: Coefficienti Binomiali. Disposizioni con Ripetizione, Disposizioni  Semplici. Potenza di un Binomio.


CAP. 3) IL CAMPO COMPLESSO ED ELEMENTI DI ALGEBRA
Il Campo dei Numeri Complessi. Rappresentazione Geometrica dei Numeri Complessi. Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi. Radici Algebriche nel Campo Complesso. Esponenziale e  Logaritmo. Funzioni Trigonometriche e Iperboliche. Equazioni di primo e secondo grado nel Campo Complesso.

CAP. 4) SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE   (volume I)
La nozione di Limite delle Successioni. Primi Teoremi sui Limiti. Operazioni sui Limiti. Forme Indeterminate. Successioni Monotòne. Successioni Estratte (s.d.). Numero di Nepero. Criterio di Convergenza di Cauchy (s.d.). Teoremi di Cesaro (solo teorema 4). Definizioni ed Esempi Relativi alle Serie. Serie Geometrica. Criterio di Convergenza di Cauchy. Operazioni sulle Serie (omettere teorema 2). Serie a Termini Positivi . Criterio del confronto (omettere teorema 4 e criterio di Raabe). Assoluta Convergenza Criteri del rapporto e della radice (omettere teoremi 2 e 5). Serie Alternanti (s.d.). Successioni di Numeri Complessi (s.d.). Serie nel Campo Complesso (omettere prodotto secondo Cauchy e teoremi di Abel) Serie Geometrica e Serie Esponenziale.

CAP. 5) LIMITI E CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI
La Nozione di  Limite. Primi Teoremi sui Limiti delle Funzioni . Forme Indeterminate. Continuità (teorema 5 s.d., teorema 8 s.d.). Uniforme Continuità (teorema 3 s.d.). Punti di Discontinuità. Limiti e Discontinuità delle Funzioni Monotone. Criteri di Continuità delle Funzioni Monotone (s.d.). Funzioni Composte di Tipo Numerico e Loro Continuità. Limiti Fondamentali. Funzioni Inverse di Tipo  Numerico. La Funzione Arcoseno. e Arcotangente. Infinitesimi ed Infiniti. Le Funzioni Iperboliche e loro inverse.

CAP. 6) CALCOLO DIFFERENZIALE
Derivazione, Prime Proprietà. Regole di Derivazione .Derivate Fondamentali. Differenziali. Regola di Derivazione delle Funzioni Composte, Regola di Derivazione delle Funzioni Inverse. Derivate di Ordine Superiore. Alcuni Complementi alla Nozione di Derivabilità. Proprietà Locali delle Funzioni Reali.  Teoremi Fondamentali del Calcolo Differenziale. Forme Indeterminate.    Risultati Conclusivi
(conseguenze del Teorema di Lagrange  teoremi 4, 6, 7, s.d.). Ricerca  degli Estremi di una Funzione. sulla Geometria dei Diagrammi delle Funzioni Reali. Concavità, Convessità e Flessi (s.d.). Metodo per Descrivere il Diagramma di una Funzione Reale. Formula di Taylor (dim.solo caso n = 1). Serie di Taylor delle funzioni trascendenti elementari.

CAP.7) INTEGRAZIONE INDEFINITA
Funzioni Primitive. Sull'Esistenza delle Primitive. Integrali Indefiniti . Proprietà degli Integrali Indefiniti. Calcolo di alcuni Integrali con Semplici Accorgimenti. Alcuni Integrali Fondamentali. Integrazioni delle Funzioni Raziona­li  (casi particolari). Integrazione per Decomposizione in Somma. Metodo di Integrazione per Parti. Metodo di Integrazione per Sostituzione.

CAP. 8 ) L’INTEGRALE DELLE FUNZIONI CONTINUE DI UNA VARIABILE
L’Area del Rettangoloide . Definizione di Integrale. Proprietà degli Integrali (s.d.) Integrali Definiti e Teoremi Fondamentali. Integrazione Definita per Parti e per Sostituzione. Funzioni Integrali. Estensione alle funzioni.generalmente continue.

CAP. 9) LIMITI E CONTINUITA’ IN Rn E PROPRIETA’ GEOMETRICHE
Curve Generalmente Regolari. Disequazioni. Insiemi di Definizioni di Funzioni Reali di Due Variabili. Elementi di Topologia in R2. Limiti delle Successioni dei Punti di R2 (teorema 3 s.d.). Limiti e Continuità' delle Funzioni di  Più Variabili  (teorema 1.2.3.4.6.7 s.d.).

CAP.10) CALCOLO DIFFERENZIALE IN Rn
Derivate Parziali (teorema 1 e 2 s.d.). Differenziali e Differenzialità (teorema 1 e 3 s.d.) Derivazione delle Funzioni Composte (teorema 1 s.d.). Alcune Nozioni di Geometria Differenziale. Retta Tangente ad  una Curva Regolare.  Derivata Direzionale. Gradiente. Funzioni con Derivate Parziali Nulle . Piano tangente. Forme quadratiche . Massimi e Minimi.

CAP.11) SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Successioni di funzioni. Convergenza Uniforme. Teoremi Fondamentali sulla Convergenza Uniforme (s.d.). Serie di Funzioni. Convergenza Uniforme.Risultati conclusivi (s.d.).

CAP.12) Integrali impropri pag. 535 – 537 escluso teorema

Cap.3 VOL.II) SVILUPPI IN SERIE.
Serie di Tylor sviluppabilità. Criteri di sviluppabilità (s.d.). Sviluppi in Serie di Mac Laurin: Funzione esponenziale, seno, coseno, logaritmo ed arcotangente.

Cap. vol. 4 II) EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Argomenti introduttivi Equazioni differenziali risolubili con integrazione (equazioni a variabili separabili). Equazioni Lineari del primo ordine omogenee e non. Problema dei valori iniziali o di Cauchy.Equazioni lineari del secondo ordine. Determinante Wronskiano. La struttura dell’integrale generale.  Il metodo delle variazioni delle costanti arbitrarie. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni non omogenee. Metodo di similitudine. Integrazione delle EquaDiff dei moti forzati.

TESTI CONSIGLIATI:

A. AVANTAGGIATI, ANALISI  MATEMATICA I . Casa Edit. AMBROSIANA
A. AVANTAGGIATI, ANALISI  MATEMATICA II . Casa Edit. AMBROSIANA

Legenda:  s.d. = senza dimostrazione o senza dimostrazioni.
                     d.f. =  dimostrazione facoltativa.