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Programma di Geometria 1:

 

  • Matrici. Matrici triangolari,diagonali,a scala,simmetriche,antisimmetriche,ortogonali. Somma e prodotto di matrici e relative proprietà principali. Determinanti:definizione e loro proprietà principali. Rango  di una matrice. Teorema degli orlati (enunciato). Matrici invertibili e matrice inversa. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Matrici equivalenti per righe.
  • Sistemi di equazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli e relative tecniche risolutive dei sistemi compatibili. Il metodo di Gauss-Jordan.  Sistemi omogenei.

 

  • Spazi vettoriali reali. Gli spazi vettoriali dei vettori  geometrici (liberi e applicati), Rn , Rn[x], lo spazio delle matrici  mxn. Dipendenza e indipendenza lineare  e loro prime proprietà. Generatori. Spazi finitamente generati. Basi. Basi canoniche. Basi ortonormali. Base estratta da un sistema di generatori. Coordinate di vettore. Cambiamento di base e di coordinate di vettore. Dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale.
  • Applicazioni iniettive,suriettive,biiettive. Omomorfismi (o applicazioni lineari). Isomorfismi tra spazi vettoriali. Isomorfismo tra V ed Rn indotto da una base. Nucleo ed immagine di un omomorfismo f:V W. Dim V= dim Ker f + dim Im f. Controimmagine di un vettore. Equazioni di un omomorfismo. Matrice associata ad un omomorfismo. Omomorfismo associato ad una matrice. Condizioni affinché f sia iniettivo , suriettivo, biiettivo. Matrici simili. Endomorfismi ( o operatori) ed automorfismi. Diagonalizzazione di un endomorfismo e di una matrice quadrata. Autovettori ed autovalori. Autospazi. Equazione caratteristica. Teorema fondamentale dell’algebra (enunciato). Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Condizioni affinché un endomorfismo sia diagonalizzabile. Diagonalizzabilità delle matrici simmetriche.

 

  • Coordinate cartesiane. Riferimenti affini e ortonormali. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e di piani. Parametri direttori e coseni direttori. Mutue posizioni di rette e di piani  e relative condizioni analitiche. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità tra rette , piani  e vettori. Condizioni di complanarità di rette. Fasci e stelle di rette e di piani. Distanze e angoli. Significato geometrico dei coefficienti di una equazione lineare.  Riferimenti equiversi e contraversi. Cambiamento di coordinate di punto.
  • Curve piane e loro rappresentazioni analitiche. Curve regolari . Retta tangente. Circonferenza, ellisse, iperbole, parabola : equazioni canoniche ,diametri, vertici,asintoti,fuochi,centro, direttrici, eccentricità,assi. Coniche: definizione e classificazione metrica (senza dim.).

 

  • Superficie e curve nello spazio e loro rappresentazioni analitiche. Curve piane e curve sghembe. Curve regolari e superficie regolari. Retta tangente . Piano tangente. Sfera. Circonferenza nello spazio. Quadriche: definizione,equazioni canoniche metriche e classificazione (senza dim.).

Gli argomenti su esposti ,con i relativi esercizi,  si possono trovare nei testi indicati in bibliografia. Riferendosi  a  1 e a  2 ,si può OMETTERE  quanto segue:

Da  1:
1.6.4; dim. di  7) in 1.10; dim di  1.14.1; 1.15.8;  dim. di  1.14.3;  dim. di  2.4.5;  2.4.8;  2.6 ( tranne  2.6.1  e  tecnica per procurarsi una base da un sistema di generatori) ; 2.7;  2.8;  2.9;  2.10; 3.3; dim. di 3.5.4; dim. di  (3.10);  3.6.11;  3.6.12;  3.7;  3.8 ; 3.9.

Da  2:
3.9;  4.12;  4.21;  5.1.5;  5.3;  dim di  5.7.2;  5.9 ( tranne  5.9.2);  5.10 ( tranne enunciato di 5.10.1);  5.11;  5.12;  6.4 ( tranne  6.4.3).